¡No preocupación! Busco esta ayuda para obtener la contraseña wifi de los vecinos.
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Gracias a la pregunta.
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Imagine que es un médico que intenta medir la frecuencia cardíaca de un paciente mientras hace ejercicio. Pones a un chico en una cinta de correr, te abrochas los electrodos y lo haces correr. La máquina escupe 180 latidos por minuto. Ese debe ser su ritmo cardíaco, ¿verdad?
No. Esa es su frecuencia cardíaca cuando es observada por médicos y cubierta de electrodos . ¿No sería ese escenario estresante? ¿Y si tus electrodos de la era Nixon se enredan y tiran de sus piernas mientras corres? Gracias. Necesitamos los electrodos para obtener alguna medida. Pero, justo después, necesitamos eliminar el efecto de los electrodos. Por ejemplo, si medimos 180 lpm y supiéramos que los electrodos agregaron 5 lpm de estrés, sabríamos que la frecuencia cardíaca real fue de 175.
La clave está en hacer la medición errónea a sabiendas, para obtener una lectura, luego corregirla como si el instrumento no estuviera allí.
Medición de la derivada
Medir la derivada es como poner electrodos en una función y hacerla funcionar. Para f (x) = x2 [matemática] f (x) = x2 [/ matemática], colocamos un electrodo de +1 [matemática] +1 [/ matemática] para ver cómo reaccionó:
La franja horizontal es el resultado de nuestro cambio aplicado a lo largo de la parte superior de la forma. La franja vertical es nuestro cambio moviéndose a lo largo del costado. ¿Y cuál es el rincón?
¡Es parte del cambio horizontal que interactúa con el vertical! Este es un electrodo que se enreda en sus propios cables, un artefacto de medición que debe irse.
Tirando a la basura los resultados artificiales
Los fundadores del cálculo reconocieron intuitivamente qué componentes del cambio eran “artificiales” y simplemente los descartaron. Vieron que la pieza de la esquina era el resultado de nuestra medición de prueba interactuando consigo misma, y no debería incluirse. La mejor manera En los tiempos modernos, creamos teorías oficiales sobre cómo se hace esto:
- Límites: dejamos que los artefactos de medición se hagan cada vez más pequeños hasta que desaparezcan efectivamente (no se puede distinguir de cero).
- Infinitesimals: cree un nuevo tipo de número que nos permita probar un cambio infinitamente pequeño en un sistema de números pequeño y separado. Cuando devolvemos el resultado a nuestro sistema numérico regular, se eliminan los elementos artificiales.
Hay clases enteras dedicadas a explorar estas teorías. El resultado práctico es darse cuenta de cómo tomar una medida y tirar las partes que no necesitamos.
Aquí está la configuración, descrita con límites:
Paso
Ejemplo
Prerrequisito: comience con una función para estudiar
f (x) = x2 [matemáticas] f (x) = x2 [/ matemáticas]
1: cambie la entrada por dx, nuestro cambio de prueba
f (x + dx) = (x + dx) 2 = x2 + 2x⋅dx + (dx) 2 [matemáticas] f (x + dx) = (x + dx) 2 = x2 + 2x⋅dx + (dx) 2 [ /matemáticas]
2: Encuentre el cambio resultante en la salida, df [math] df [/ math]
f (x + dx) −f (x) = 2x⋅dx + (dx) 2 [matemática] f (x + dx) −f (x) = 2x⋅dx + (dx) 2 [/ matemática]
3: Encuentra dfdx [math] dfdx [/ math]
2x⋅dx + (dx) 2dx = 2x + dx [matemática] 2x⋅dx + (dx) 2dx = 2x + dx [/ matemática]
4: deseche los artefactos de medición
2x + dx⟹dx = 02x [matemática] 2x + dx⟹dx = 02x [/ matemática]
¡Guauu! Encontramos la derivada oficial para ddxx2 [math] ddxx2 [/ math] por nuestra cuenta:
Ahora, algunas preguntas:
- ¿Por qué medimos dfdx [matemática] d [/ matemática] [matemática] f [/ matemática] [matemática] d [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] , y no el cambio real df? Piense en df como el cambio en bruto que sucedió cuando dimos un paso. La relación es útil porque normaliza las comparaciones, mostrándonos cuánto reacciona la salida a la entrada. Ahora, a veces puede ser útil aislar el cambio real que ocurrió en un intervalo y reescribir dfdx = 2x [matemática] dfdx = 2x [/ matemática] como df = 2x⋅dx [matemática] df = 2x⋅dx [/ matemática ]
- ¿Cómo configuramos dx a 0? Veo dx como el tamaño del instrumento utilizado para medir el cambio en una función. Después de tener la medición con un instrumento real (2x + dx [matemática] 2x + dx [/ matemática]), determinamos cuál sería la medición si el instrumento no estuviera allí para interferir (2x [matemática] 2x [/ matemáticas]).
- Pero, ¿no es correcto el patrón 2x + 1 [matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] x [/ matemáticas] [matemáticas] + [/ matemáticas] [matemáticas] 1 [/ matemáticas] ? Los enteros tienen los cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25 que tienen el patrón de diferencia 1, 3, 5, 7, 9. Porque los enteros deben usar un intervalo fijo de 1, usando dx = 1 [matemáticas] dx = 1 [/ math] y mantenerlo alrededor es una forma perfectamente precisa de medir cómo cambian. Sin embargo, los decimales no tienen un espacio fijo, por lo que 2x [matemática] 2x [/ matemática] es el mejor resultado para la rapidez con que cambia el cambio entre 22 [matemática] 22 [/ matemática] y (2.0000001) 2 [matemática] (2.0000001 ) 2 [/ math] está sucediendo. (Excepto, reemplace 2.0000001 con el número inmediatamente posterior a 2.0, sea lo que sea).
- Si no hay ‘+1’, ¿cuándo se llena la esquina? El diagrama muestra cómo crece el área en presencia de un instrumento crudo, dx. No es un decreto sobre cómo se agrega más área. El cambio real de 2x es la franja horizontal y vertical. La esquina representa un cambio de la franja vertical que interfiere con la horizontal. Es área, claro, pero no se agregará en este paso.
Me imagino un cuadrado que crece en dos tiras, se derrite para absorber el área (formando un cuadrado más grande), luego crece nuevamente, luego se derrite, y así sucesivamente. El cuadrado no se “queda quieto” el tiempo suficiente para que las extensiones horizontales y verticales interactúen.
Conclusión práctica: podemos comenzar con una medición errónea a sabiendas (f ′ (x) ∼2x + dx [matemáticas] f ′ (x) ∼2x + dx [/ matemáticas]), y deducir el resultado al que apunta (f ′ (x) = 2x [matemáticas] f ′ (x) = 2x [/ matemáticas]). Las teorías de cómo desechamos exactamente dx [matemáticas] dx [/ matemáticas] no son necesarias para dominar hoy. La clave es darse cuenta de que hay artefactos de medición que se pueden eliminar al modelar cómo cambia el patrón.
(¿Todavía es inestable acerca de cómo puede aparecer y desaparecer dx exactamente? Bien. Esta pregunta tomó décadas para que los matemáticos se dieran cuenta. Aquí hay una discusión más profunda de cómo funciona la teoría, pero recuerde esto: al medir, ignore el efecto del instrumento.
Imagine que es un médico que intenta medir la frecuencia cardíaca de un paciente mientras hace ejercicio. Pones a un chico en una cinta de correr, te abrochas los electrodos y lo haces correr. La máquina escupe 180 latidos por minuto. Ese debe ser su ritmo cardíaco, ¿verdad?
No. Esa es su frecuencia cardíaca cuando es observada por médicos y cubierta de electrodos . ¿No sería ese escenario estresante? ¿Y qué pasa si tus electrodos de la era Nixon se enredan y tiran de sus piernas mientras corres?
Ah Necesitamos los electrodos para obtener alguna medida. Pero, justo después, necesitamos eliminar el efecto de los electrodos. Por ejemplo, si medimos 180 lpm y supiéramos que los electrodos agregaron 5 lpm de estrés, sabríamos que la frecuencia cardíaca real fue de 175.
La clave es hacer la medición errónea a sabiendas, para obtener una lectura, luego corregirla como si el instrumento no estuviera allí.
Medición de la derivada
Medir la derivada es como poner electrodos en una función y hacerla funcionar. Para f (x) = x2 [matemática] f (x) = x2 [/ matemática], colocamos un electrodo de +1 [matemática] +1 [/ matemática] para ver cómo reaccionó:
La franja horizontal es el resultado de nuestro cambio aplicado a lo largo de la parte superior de la forma. La franja vertical es nuestro cambio moviéndose a lo largo del costado. ¿Y cuál es el rincón?
¡Es parte del cambio horizontal que interactúa con el vertical! Este es un electrodo que se enreda en sus propios cables, un artefacto de medición que debe irse.
Tirando a la basura los resultados artificiales
Los fundadores del cálculo reconocieron intuitivamente qué componentes del cambio eran “artificiales” y simplemente los descartaron. Vieron que la pieza de la esquina era el resultado de nuestra medición de prueba interactuando consigo misma, y no debería incluirse.
En los tiempos modernos, creamos teorías oficiales sobre cómo se hace esto:
- Límites: dejamos que los artefactos de medición se hagan cada vez más pequeños hasta que desaparezcan efectivamente (no se puede distinguir de cero).
- Infinitesimals: cree un nuevo tipo de número que nos permita probar un cambio infinitamente pequeño en un sistema de números pequeño y separado. Cuando devolvemos el resultado a nuestro sistema numérico regular, se eliminan los elementos artificiales.
Hay clases enteras dedicadas a explorar estas teorías. El resultado práctico es darse cuenta de cómo tomar una medida y tirar las partes que no necesitamos.
Aquí está la configuración, descrita con límites:
Paso
Ejemplo
Prerrequisito: comience con una función para estudiar
f (x) = x2 [matemáticas] f (x) = x2 [/ matemáticas]
1: cambie la entrada por dx, nuestro cambio de prueba
f (x + dx) = (x + dx) 2 = x2 + 2x⋅dx + (dx) 2 [matemáticas] f (x + dx) = (x + dx) 2 = x2 + 2x⋅dx + (dx) 2 [ /matemáticas]
2: Encuentre el cambio resultante en la salida, df [math] df [/ math]
f (x + dx) −f (x) = 2x⋅dx + (dx) 2 [matemática] f (x + dx) −f (x) = 2x⋅dx + (dx) 2 [/ matemática]
3: Encuentra dfdx [math] dfdx [/ math]
2x⋅dx + (dx) 2dx = 2x + dx [matemática] 2x⋅dx + (dx) 2dx = 2x + dx [/ matemática]
4: deseche los artefactos de medición
2x + dx⟹dx = 02x [matemática] 2x + dx⟹dx = 02x [/ matemática]
¡Guauu! Encontramos la derivada oficial para ddxx2 [math] ddxx2 [/ math] por nuestra cuenta:
Ahora, algunas preguntas:
- ¿Por qué medimos dfdx [matemática] d [/ matemática] [matemática] f [/ matemática] [matemática] d [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] , y no el cambio real df? Piense en df como el cambio en bruto que sucedió cuando dimos un paso. La relación es útil porque normaliza las comparaciones, mostrándonos cuánto reacciona la salida a la entrada. Ahora, a veces puede ser útil aislar el cambio real que ocurrió en un intervalo y reescribir dfdx = 2x [matemática] dfdx = 2x [/ matemática] como df = 2x⋅dx [matemática] df = 2x⋅dx [/ matemática ]
- ¿Cómo configuramos dx a 0? Veo dx como el tamaño del instrumento utilizado para medir el cambio en una función. Después de tener la medición con un instrumento real (2x + dx [matemática] 2x + dx [/ matemática]), determinamos cuál sería la medición si el instrumento no estuviera allí para interferir (2x [matemática] 2x [/ matemáticas]).
- Pero, ¿no es correcto el patrón 2x + 1 [matemática] 2 [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] 1 [/ matemática] ? Los enteros tienen los cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25 que tienen el patrón de diferencia 1, 3, 5, 7, 9. Porque los enteros deben usar un intervalo fijo de 1, usando dx = 1 [matemática] dx = 1 [/ math] y mantenerlo alrededor es una forma perfectamente precisa de medir cómo cambian. Sin embargo, los decimales no tienen un espacio fijo, por lo que 2x [matemática] 2x [/ matemática] es el mejor resultado de la rapidez con que cambia el cambio entre 22 [matemática] 22 [/ matemática] y (2.0000001) 2 [matemática] (2.0000001 ) 2 [/ math] está sucediendo. (Excepto, reemplace 2.0000001 con el número inmediatamente posterior a 2.0, sea lo que sea).
- Si no hay ‘+1’, ¿cuándo se llena la esquina? El diagrama muestra cómo crece el área en presencia de un instrumento crudo, dx. No es un decreto sobre cómo se agrega más área. El cambio real de 2x es la franja horizontal y vertical. La esquina representa un cambio de la franja vertical que interfiere con la horizontal. Es área, claro, pero no se agregará en este paso.
Me imagino un cuadrado que crece en dos tiras, se derrite para absorber el área (formando un cuadrado más grande), luego crece nuevamente, luego se derrite, y así sucesivamente. El cuadrado no se “queda quieto” el tiempo suficiente para que las extensiones horizontales y verticales interactúen.
Conclusión práctica: podemos comenzar con una medición errónea a sabiendas (f ′ (x) ∼2x + dx [matemáticas] f ′ (x) ∼2x + dx [/ matemáticas]), y deducir el resultado al que apunta (f ′ (x) = 2x [matemáticas] f ′ (x) = 2x [/ matemáticas]). Las teorías de cómo desechamos exactamente dx [matemáticas] dx [/ matemáticas] no son necesarias para dominar hoy. La clave es darse cuenta de que hay artefactos de medición que se pueden eliminar al modelar cómo cambia el patrón. Imagine que es un médico que intenta medir la frecuencia cardíaca de un paciente mientras hace ejercicio. Pones a un chico en una cinta de correr, te abrochas los electrodos y lo haces correr. La máquina escupe 180 latidos por minuto. Ese debe ser su ritmo cardíaco, ¿verdad?
No. Esa es su frecuencia cardíaca cuando es observada por médicos y cubierta de electrodos . ¿No sería ese escenario estresante? ¿Y qué pasa si tus electrodos de la era Nixon se enredan y tiran de sus piernas mientras corres?
Ah Necesitamos los electrodos para obtener alguna medida. Pero, justo después, necesitamos eliminar el efecto de los electrodos. Por ejemplo, si medimos 180 lpm y supiéramos que los electrodos agregaron 5 lpm de estrés, sabríamos que la frecuencia cardíaca real fue de 175.
La clave es hacer la medición errónea a sabiendas, para obtener una lectura, luego corregirla como si el instrumento no estuviera allí.
Medición de la derivada
Medir la derivada es como poner electrodos en una función y hacerla funcionar. Para f (x) = x2 [matemática] f (x) = x2 [/ matemática], colocamos un electrodo de +1 [matemática] +1 [/ matemática] para ver cómo reaccionó:
La franja horizontal es el resultado de nuestro cambio aplicado a lo largo de la parte superior de la forma. La franja vertical es nuestro cambio moviéndose a lo largo del costado. ¿Y cuál es el rincón?
¡Es parte del cambio horizontal que interactúa con el vertical! Este es un electrodo que se enreda en sus propios cables, un artefacto de medición que debe irse.
Tirando a la basura los resultados artificiales
Los fundadores del cálculo reconocieron intuitivamente qué componentes del cambio eran “artificiales” y simplemente los descartaron. Vieron que la pieza de la esquina era el resultado de nuestra medición de prueba interactuando consigo misma, y no debería incluirse.
En los tiempos modernos, creamos teorías oficiales sobre cómo se hace esto:
- Límites: dejamos que los artefactos de medición se hagan cada vez más pequeños hasta que desaparezcan efectivamente (no se puede distinguir de cero).
- Infinitesimals: cree un nuevo tipo de número que nos permita probar un cambio infinitamente pequeño en un sistema de números pequeño y separado. Cuando devolvemos el resultado a nuestro sistema numérico regular, se eliminan los elementos artificiales.
Hay clases enteras dedicadas a explorar estas teorías. El resultado práctico es darse cuenta de cómo tomar una medida y tirar las partes que no necesitamos.
Aquí está la configuración, descrita con límites:
Paso
Ejemplo
Prerrequisito: comience con una función para estudiar
f (x) = x2 [matemáticas] f (x) = x2 [/ matemáticas]
1: cambie la entrada por dx, nuestro cambio de prueba
f (x + dx) = (x + dx) 2 = x2 + 2x⋅dx + (dx) 2 [matemáticas] f (x + dx) = (x + dx) 2 = x2 + 2x⋅dx + (dx) 2 [ /matemáticas]
2: Encuentre el cambio resultante en la salida, df [math] df [/ math]
f (x + dx) −f (x) = 2x⋅dx + (dx) 2 [matemática] f (x + dx) −f (x) = 2x⋅dx + (dx) 2 [/ matemática]
3: Encuentra dfdx [math] dfdx [/ math]
2x⋅dx + (dx) 2dx = 2x + dx [matemática] 2x⋅dx + (dx) 2dx = 2x + dx [/ matemática]
4: deseche los artefactos de medición
2x + dx⟹dx = 02x [matemática] 2x + dx⟹dx = 02x [/ matemática]
¡Guauu! Encontramos la derivada oficial para ddxx2 [math] ddxx2 [/ math] por nuestra cuenta:
Ahora, algunas preguntas:
- ¿Por qué medimos dfdx [matemática] d [/ matemática] [matemática] f [/ matemática] [matemática] d [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] , y no el cambio real df? Piense en df como el cambio en bruto que sucedió cuando dimos un paso. La relación es útil porque normaliza las comparaciones, mostrándonos cuánto reacciona la salida a la entrada. Ahora, a veces puede ser útil aislar el cambio real que ocurrió en un intervalo y reescribir dfdx = 2x [matemática] dfdx = 2x [/ matemática] como df = 2x⋅dx [matemática] df = 2x⋅dx [/ matemática ]
- ¿Cómo configuramos dx a 0? Veo dx como el tamaño del instrumento utilizado para medir el cambio en una función. Después de tener la medición con un instrumento real (2x + dx [matemática] 2x + dx [/ matemática]), determinamos cuál sería la medición si el instrumento no estuviera allí para interferir (2x [matemática] 2x [/ matemáticas]).
- Pero, ¿no es correcto el patrón 2x + 1 [matemática] 2 [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] 1 [/ matemática] ? Los enteros tienen los cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25 que tienen el patrón de diferencia 1, 3, 5, 7, 9. Porque los enteros deben usar un intervalo fijo de 1, usando dx = 1 [matemática] dx = 1 [/ math] y mantenerlo alrededor es una forma perfectamente precisa de medir cómo cambian. Sin embargo, los decimales no tienen un espacio fijo, por lo que 2x [matemática] 2x [/ matemática] es el mejor resultado de la rapidez con que cambia el cambio entre 22 [matemática] 22 [/ matemática] y (2.0000001) 2 [matemática] (2.0000001 ) 2 [/ math] está sucediendo. (Excepto, reemplace 2.0000001 con el número inmediatamente posterior a 2.0, sea lo que sea).
- Si no hay ‘+1’, ¿cuándo se llena la esquina? El diagrama muestra cómo crece el área en presencia de un instrumento crudo, dx. No es un decreto sobre cómo se agrega más área. El cambio real de 2x es la franja horizontal y vertical. La esquina representa un cambio de la franja vertical que interfiere con la horizontal. Es área, claro, pero no se agregará en este paso.
Me imagino un cuadrado que crece en dos tiras, se derrite para absorber el área (formando un cuadrado más grande), luego crece nuevamente, luego se derrite, y así sucesivamente. El cuadrado no se “queda quieto” el tiempo suficiente para que las extensiones horizontales y verticales interactúen.
Conclusión práctica: podemos comenzar con una medición errónea a sabiendas (f ′ (x) ∼2x + dx [matemáticas] f ′ (x) ∼2x + dx [/ matemáticas]), y deducir el resultado al que apunta (f ′ (x) = 2x [matemáticas] f ′ (x) = 2x [/ matemáticas]). Las teorías de cómo desechamos exactamente dx [matemáticas] dx [/ matemáticas] no son necesarias para dominar hoy. La clave es darse cuenta de que hay artefactos de medición que se pueden eliminar al modelar cómo cambia el patrón.
(¿Todavía es inestable acerca de cómo puede aparecer y desaparecer dx exactamente? Bien. Esta pregunta tomó décadas para que los matemáticos se dieran cuenta. Aquí hay una discusión más profunda de cómo funciona la teoría, pero recuerde esto: al medir, ignore el efecto del instrumento.
(¿Todavía es inestable acerca de cómo puede aparecer y desaparecer dx exactamente? Bien. Esta pregunta tomó décadas para que los matemáticos se dieran cuenta. Aquí hay una discusión más profunda de cómo funciona la teoría, pero recuerde esto: al medir, ignore el efecto del instrumento.
Gracias,,,,,,,
