¿Cuál es el número más pequeño [matemática] N [/ matemática] tal que [matemática] N \ equiv 2 \ mod 3, [/ matemática] [matemática] N \ equiv 1 \ mod 5, [/ matemática] [matemática] N \ equiv 4 \ mod 7 [/ matemáticas]?

Este es realmente un problema muy clásico y la solución se da como

[matemática] N \ equiv r_3 \ por 70 + r_5 \ por 21 + r_7 \ por 15 (\ mod 105) [/ matemática]

por lo cual

[matemáticas] N \ equiv r_3 \ mod 3, N \ equiv r_5 \ mod 5, N \ equiv r_7 \ mod 7 [/ matemáticas]

Usando [math] (r_3, r_5, r_7) = (2,1,4) [/ math]

[matemáticas] N \ equiv 2 \ veces 70 + 1 \ veces 21 + 4 \ veces 15 (\ mod 105) \ equiv 221 (\ mod 105) [/ matemáticas]

Dado que queremos la [matemática] N más pequeña, [/ matemática] simplemente mantengamos menos 105 de 221 hasta que sea menor que 105, lo que nos da [matemática] N_ {min} = 11 [/ matemática].

Si le interesa cómo se producen los 70, 21 y 15, aquí viene la derivación.

Imagine [math] r_5 = r_7 = 0 [/ math], seguramente el número es un múltiplo de 35 y [math] 35 \ equiv 2 \ mod 3 [/ math].

[matemáticas] N = 35k_3 \ veces r_3 [/ matemáticas]

Para [matemática] 35k_3 \ veces r_3 \ equiv r_3 \ mod 3 [/ matemática], necesitamos [matemática] 35 \ veces k_3 \ equiv 1 \ mod 3 [/ matemática], resolviendo para [matemática] k_3 [/ matemática], nos da [matemáticas] k_3 = 2 [/ matemáticas]

Del mismo modo, podemos encontrar [math] k_5 ​​[/ math] y [math] k_7 [/ math] de manera similar usando el mismo método y obtenemos [math] k_5 ​​= 1, k_7 = 1 [/ math].

El número que se multiplicará con [math] r_3 [/ math] es [math] 35 \ times 2 = 70 [/ math], el número para [math] r_5 [/ math] y [math] r_7 [/ math] son 21 y 15 respectivamente. Al superponer los 3 valores, obtenemos

[matemática] N \ equiv r_3 \ por 70 + r_5 \ por 21 + r_7 \ por 15 (\ mod 105) [/ matemática]

Vamos a generalizar esto aún más, este método en realidad proviene del teorema del resto chino, dado un sistema de congruencia de la siguiente manera:

[matemáticas] \ begin {align *} N & \ equiv r_1 \ mod n_1 \\ N & \ equiv r_2 \ mod n_2 \\ &. \\ &. \\ &. \\ N & \ equiv r_k \ mod n_k \ end {align *} [/ math]

donde [math] n_1, n_2, …, n_k [/ math] son ​​relativamente primos entre sí.

Al igual que el método anterior, podemos suponer que solo [math] r_i [/ ​​math] no es cero a la vez. Denote el producto de todos los divisores como [math] P [/ math].

Sabemos que [math] N [/ math] es un múltiplo de [math] P / n_i [/ ​​math], [math] N = P / n_i \ times c_i \ times r_i \ equiv r_i \ mod n_i [/ ​​math] . Resolver para [math] P / n_i \ times c_i \ equiv 1 \ mod n_i [/ ​​math] nos dará un valor de c [math] _i [/ ​​math] y [math] p_i = P / n_i \ times c_i [/ mates].

Superponga todos los valores juntos y obtenemos

[matemáticas] N \ equiv \ sum_ {i = 1} ^ {k} r_i \ veces p_i \ mod P [/ matemáticas]

Probemos esto con 1 ejemplo, usando 4, 7, 11, 19 como divisores.

Paso 1: Verifique que todos sean coprimos entre sí. Esto es cierto ya que 7, 11 y 19 son números primos, mientras que 4 es múltiplo de ellos.

Hagamos para [matemáticas] n_1 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] p_1 = 7 \ veces 11 \ veces 19 \ veces c_1 \ equiv 1 \ mod 4 [/ matemáticas]

Resolver esto nos da [matemáticas] c_1 = 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] p_1 = 4389 [/ matemáticas]

[matemáticas] n_2 = 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] p_2 = 4 \ veces 11 \ veces 19 \ veces c_2 \ equiv 1 \ mod 7 [/ matemáticas]

[matemáticas] c_2 = 5, p_2 = 4180 [/ matemáticas]

[matemáticas] n_3 = 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] p_3 = 4 \ veces 7 \ veces 19 \ veces c_3 \ equiv 1 \ mod 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] c_3 = 3, p_3 = 1596 [/ matemáticas]

[matemáticas] p_4 = 4 \ veces 7 \ veces 11 \ veces c_4 \ equiv 1 \ mod 19 [/ matemáticas]

[matemáticas] c_4 = 5, p_4 = 1540 [/ matemáticas]

[matemática] N \ equiv 4389r_1 + 4180r_2 + 1596r_3 + 1540r_4 \ mod 5852 [/ matemática]

Probemos [matemáticas] (r_1, r_2, r_3, r_4) = (3,2,6,13) [/ matemáticas]

Sustituya los valores en y obtenemos que la suma es 51123 y su resto cuando se divide por 5852 es 4307.

La respuesta es 11. (El espacio completo de tal N, sin el criterio “más pequeño”, es 11 + (cualquier múltiplo común de 3, 5, 7), es decir, 11 + (cualquier múltiplo de 3 * 5 * 7), ya que 3, 5 y 7 son primos distintos).

Uno puede llegar a esto de manera más basada en principios o de fuerza bruta, pero 11 es un valor tan pequeño que resulta que funciona que uno podría tropezar fácilmente con él de inmediato.

(En última instancia, esto no es la mejor respuesta de Quora, que discutiría de manera más esclarecedora formas más basadas en principios para resolver tales problemas, pero, originalmente, ni siquiera iba a responder a esta pregunta, excepto que la respuesta apareció en mi cabeza. Entonces, en caso de que lo necesitaras rápidamente con un poco más de comprensión, aquí tienes …)