En primer lugar, uno debe saber el significado preciso de [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = \ infty [/ math]. Al escribir [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = 0 [/ math], no estamos afirmando la existencia de un objeto [math] \ infty [/ math] tal como [math] n [/ math] se acerca a [math] \ infty [/ math], [math] f (x) [/ math] se acerca a [math] 0 [/ math]. De manera similar, al escribir [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = \ infty [/ math], no estamos afirmando que haya un objeto [math] \ infty [/ math] tal que [math ] f (x) [/ math] se acerca a [math] \ infty [/ math]. Sin embargo, son solo manos cortas para declaraciones más precisas,
- La taquigrafía [matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = 0 [/ matemática] se refiere a una declaración más precisa “a medida que [matemática] n [/ matemática] crece sin límite, o como [matemática] n [/ math] aumenta indefinidamente, [math] f (x) [/ math] se acerca a [math] 0 [/ math] “. En otras palabras, podemos hacer que [math] f [/ math] esté tan cerca de [ math] 0 [/ math] como queramos al tomar [math] n [/ math] como un número suficientemente grande. Para poner esto de manera rigurosa, tenemos [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f ( x) = 0 [/ math] si y solo si, por cada [math] \ varepsilon> 0 [/ math], existe un [math] N \ in \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] | f (x) -0 | N [/ math].
- Del mismo modo, [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = \ infty [/ math] es una abreviatura para una afirmación más precisa “[math] f (x) [/ math] se vuelve arbitrariamente grande cuando [math] x [/ math] se incrementa indefinidamente “. En otras palabras, podemos hacer que [math] f [/ math] sea tan grande como queramos tomando [math] x [/ math] para que sea un número suficientemente grande. Nuevamente, para poner esto de una manera rigurosa, tenemos [matemática] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = \ infty [/ math] si y solo si, por cada [matemática] M> 0 [/ matemática], existe una [matemática] N \ in \ mathbb {R} [/ matemática] tal que [matemática] | f (x) |> M [/ matemática] para todos [matemática] x> N [/ matemática] .
Ahora, respondiendo a su pregunta, para cualquier número real [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] tal que [matemática] a> 1 [/ matemática], tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n ^ b} {a ^ n} = 0 [/ matemáticas].
- Recientemente llegué a un llamado indicador de opciones binarias del sitio web 'www.investoo.com' que afirma una tasa de éxito del 83% al predecir el resultado de las opciones binarias. ¿Es una estafa?
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Bueno, esto significa que [math] \ dfrac {n ^ b} {a ^ n} [/ math] puede hacerse arbitrariamente cerca de [math] 0 [/ math] si seleccionamos [math] n [/ math] para ser un número suficientemente grande Para decir lo mismo de otra manera, [math] \ dfrac {a ^ n} {n ^ b} [/ math] puede hacerse arbitrariamente grande tomando [math] n [/ math] como un número suficientemente grande. En otras palabras,
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {a ^ n} {n ^ b} = \ infty. [/ math]
El símbolo [math] \ infty [/ math] solo tiene significado cuando está escrito en tándem con límite, de lo contrario no tiene significado. Por ejemplo, solo el enunciado [math] \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) = \ infty [/ math] tiene un significado, mientras que el símbolo [math] \ infty [/ math] por sí solo no tiene significado .
Dado que [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {n ^ b} {a ^ n} = 0 [/ math] y [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {a ^ n} {n ^ b} = \ infty [/ math] son solo manos cortas y [math] \ infty [/ math] en sí mismo no tiene sentido, no tiene ningún sentido escribir [math] 1 / 0 = \ infty [/ math].
Entonces, la respuesta final a su pregunta es, no, los autores no han abusado de los límites.
