Muy simple respuesta.
Firmware, es el software inicial cargado cuando se inicia un sistema. El nombre implica que está firmemente integrado con el hardware. Si este sistema fuera una PC, sería el BIOS.
Sistema integrado: generalmente se refiere a una instancia específica de algún hardware diseñado para integrarse en una aplicación. Este podría ser el sistema informático en una lavadora. A veces también se usa para referirse a un sistema operativo diseñado para su uso en hardware incorporado.
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Middleware: es una especie de bromista, ya que se puede usar básicamente para cualquier cosa que eleve un poco el nivel de abstracción. En una PC, DOS podría considerarse middleware ya que abstrae el BIOS y permite que la aplicación principal use fácilmente su funcionalidad. Del mismo modo, cualquier controlador instalado en un sistema operativo puede considerarse middleware.