Cómo resolver esta relación de recurrencia usando el método de sustitución

[matemáticas] T (n) = 2T (\ sqrt {n}) + \ frac {\ log {n}} {\ log {\ log {n}}} [/ matemáticas]
Sea [matemática] n = 2 ^ k [/ matemática], la ecuación anterior se convierte en
[matemáticas] T (2 ^ k) = 2T (\ sqrt {2 ^ k}) + \ frac {\ log {2 ^ k}} {\ log {\ log {2 ^ k}}} [/ matemáticas]
Deje T (2 ^ k) = S (k), y suponiendo que log es a la base 2, S (2) = 1
[matemática] S (k) = 2S (k / 2) + \ frac {k} {\ log {k}} [/ matemática]
[matemáticas] S (k) = 2 [2S (k / 4) + \ frac {k} {2 (\ log {k} -1)}] + \ frac {k} {\ log {k}} [/ mates]
[matemáticas] S (k) = 2 ^ 2S (k / 4) + \ frac {k} {\ log {k} -1} + \ frac {k} {\ log {k}} [/ matemática]
Esto por sustitución repetida conducirá a
[matemáticas] S (k) = 2 ^ {t} S (2) + \ sum_ {j = 0} ^ {t-1} {\ frac {k} {\ log {k} -j}}} [/ mates]
donde [matemáticas] t = \ log {(k)} – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] S (k) = \ frac {k} {2} + \ sum_ {j = 0} ^ {t-1} {\ frac {k} {\ log {k} -j}}} [/ matemáticas ]
[matemáticas] S (k) = \ frac {k} {2} + k \ sum_ {j = 0} ^ {\ log {k – 2}} {\ frac {1} {\ log {k} -j} }[/mates]
invertir los límites de la suma poniendo [math] \ log {k} -j = i [/ math]
[matemáticas] S (k) = k [\ frac {1} {2} + \ sum_ {i = 2} ^ {\ log {k}} {\ frac {1} {i}}] [/ matemáticas]
[matemáticas] S (k) = k [\ sum_ {i = 1} ^ {\ log {k}} {\ frac {1} {i}} – \ frac {1} {2}] [/ matemáticas]
La suma en aproximadamente [matemáticas] \ log {\ log {k}} [/ matemáticas], por lo tanto, el resultado será
[matemáticas] S (k) = k [\ log {\ log {k}} – \ frac {1} {2}] [/ matemáticas]
Sustituyendo el valor de S (k) yk de nuevo
[matemáticas] T (n) = \ log {n} [\ log {\ log {\ log {n}}} – \ frac {1} {2}] [/ matemáticas]