En la regresión cuadrática, ¿por qué tengo que mantener una variable y su aumento exponencial en el mismo modelo?

Además de las excelentes respuestas de Jay y Peter, permítanme decir que la regresión expresada como Y = a0 + a1 * X + a2 * X ^ 2 sigue siendo una regresión lineal: la linealidad siempre está en los parámetros, no en las covariables (caracteristicas). Además, debido a todas las suposiciones hechas para que la regresión lineal funcione, es justo decir que la colinealidad es baja, ya que se mide por la Correlación de Pearson (correlación lineal entre 2 variables normalmente distribuidas).

Pareces estar preguntando varias cosas.

1) “¿Por qué mantener la misma variable allí?” No entiendo lo que quieres decir aquí

2) “¿No es [matemática] x ^ 2 [/ matemática] el mismo efecto que X?” De ninguna manera. [matemática] Y = b_0 + b_1 X [/ matemática] solo puede ajustarse a líneas rectas. [matemática] Y = b_0 + b_1X + b_2X ^ 2 [/ matemática] puede adaptarse a otras formas: puede adaptarse perfectamente a las relaciones cuadráticas, pero también puede ser útil para las relaciones “casi cuadráticas”. Personalmente, creo que las splines deberían usarse más.

3) “¿Por qué no usar [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]?” Esto es al menos posible, pero viola el “principio de jerarquía”. En general, es bastante raro tener un efecto puramente cuadrático sin efecto lineal.

4) “¿No se corre el riesgo de colinealidad?” De hecho lo hace. Pero se puede tratar centrando X antes de cuadrarlo.

5) “¿Tengo que mantenerlos en el modelo …” No necesariamente, aunque generalmente querrás hacerlo.