En el algoritmo O (n) para encontrar el elemento máximo en una matriz, ¿cuál es el valor esperado del número total de cambios en el valor de una variable que mantiene el máximo sobre el paso de una matriz?

Supongamos también que los números en la matriz se distribuyen de manera aleatoria y uniforme yn es la cantidad de números.

X = número de veces que la variable cambió.

let, [math] X_ {i} = \ begin {cases} 1, & \ text {si el valor en el lugar aumenta la cuenta} \\ 0, y \ text {de lo contrario} \ end {cases} [/ math]

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Entonces, [matemáticas] X = [/ matemáticas] [matemáticas] X_ {1} + X_ {2} + .. + X_ {n} = \ sum_ {i = 1} ^ n X_ {i} [/ matemáticas]

E [X] = E ([matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n X_ {i} [/ matemáticas]) = [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n E [X_ {i}] [/ matemáticas] (linealidad de la expectativa)

[math] X_ {i} [/ math] es una variable indicadora, por lo tanto

[matemática] E [X_ {i}] = [/ matemática] Pr (el valor en el lugar i es el más grande entre los primeros números i) [matemática] = \ frac {1} {i} [/ matemática]

Entonces, [matemáticas] E [X] = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {i} = \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} +. . + \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

Esta es la suma de la serie Armónica que tiene asintóticas [matemáticas] \ Theta (logn) [/ matemáticas].