Como [math] O (\ max \ {f (n), g (n) \}) [/ math] y [math] O (f (n) + g (n)) [/ math] son ambos conjuntos, es suficiente mostrar que cualquier elemento de uno está en el otro y viceversa. Una función [matemática] a (n) [/ matemática] está en [matemática] O (b (n)) [/ matemática] si y solo si existe una [matemática] n_0, [/ matemática] [matemática] m [ / math] ambos mayores que 0, de modo que para todos [math] n> n_0 [/ math], [math] a (n) <m \ cdot b (n) [/ math].
Primero, deje que [math] h (n) \ in O (\ max \ {f (n), g (n) \}) [/ math]. Esto significa que existe un [matemático] n_0, m [/ matemático] tal que para todos [matemático] n> n_0 [/ matemático], [matemático] h (n) <m \ cdot (\ max \ {f (n ), g (n) \}) [/ math]. Dado que [math] \ max \ {f (n), g (n) \} \ le f (n) + g (n) [/ math] para funciones con valores positivos, [math] h (n) n_0 [/ matemáticas], [matemáticas] h (n) <m \ cdot (f (n) + g (n)) [/ matemáticas], lo que demuestra que [matemáticas] h (n) \ en O (f (n) + g (n)) [/ math]. Esta es la dirección fácil de la prueba.
Ahora, deje que [math] h (n) \ en O (f (n) + g (n)) [/ math]. Esto significa que existe una [matemática] n_0, m [/ matemática] tal que para todos [matemática] n> n_0 [/ matemática], [matemática] h (n) <m \ cdot (f (n) + g ( n)) [/ matemáticas]. Aquí es donde usamos el hecho de que [math] f (n) + g (n) \ le 2 (\ max \ {f (n), g (n) \}) [/ math]. Deje [math] m '= 2m [/ math]. Entonces [matemáticas] h (n) n_0 [/ matemáticas], [matemáticas] h (n) <m '\ cdot \ max \ {f (n), g (n) \} [/ matemáticas], lo que demuestra que [matemáticas ] h (n) \ en O (\ max \ {f (n), g (n) \}) [/ math].
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Esto completa la prueba de que [math] O (f (n) + g (n)) = O (\ max \ {f (n), g (n) \}) [/ math].
