¿Cuál es la forma de encontrar tres números cuyo producto y suma sean iguales?

x + y + z = xyz

[matemáticas] z = (x + y) / (xy-1) [/ matemáticas]

Para el número natural z, el numerador debe ser mayor o igual que el denominador.

[matemáticas] x + y> = xy-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] xy-x-y + 1 <= 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x-1) (y-1) <= 2 [/ matemáticas]

Para números naturales (x, y) con orden,

caso 1: cuando x = 1, y puede ser cualquier cosa;

caso 2: cuando x = 2, y = 2 o 3.

Cuando x = 3 o superior, y debe ser menor que x. Sin pérdida de generalidad, no consideramos estos casos.

En el caso 1, devuelva x = 1 en la ecuación,

[matemáticas] z = (y + 1) / (y-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 1 + 2 / (y-1) [/ matemáticas]

Entonces, y puede ser 2 o 3. Cuando y = 2, z = 3. Cuando y = 3, z = 2

El ordenado (x, y, z) es (1,2,3).

En el caso 2,

cuando x = y = 2, z = 4/3 que no es un número natural. Esta respuesta es rechazada.

cuando x = 2 e y = 3, z = 1.

Combinando los casos, la única respuesta a la pregunta es 1, 2 y 3.

Tres números cuya suma es igual al producto.

Matemáticamente podemos escribir esto como

Deje que los No sean a, b, c

Entonces. a + b + c = abc

Esto solo es posible uno de los números es 1 y otros dos son recíprocos.

Es decir ,

a = 1, b = x y c = 1 / x

Y x = -1

1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3

a + b + c = abc tiene un número muy limitado de soluciones.

a + b = ab tiene solo una solución de número natural. a = 2 yb = 2. Prueba de que no es demasiado sencillo.

b = (a + b) / a o 1 + b / a y a = (a + b) / b o a / b + 1.

Entonces a – 1 = a / b y b – 1 = b / a, lo que significa que a – 1 y b – 1 son recíprocos. El único número natural cuyo recíproco es un número natural es 1, lo que significa que a = 2 y b = 2 es la única solución para a + b = ab.

Probar que a + b + c = abc es menos sencillo. Pero 1, 2 y 3 son tres números que cumplen con los criterios, y me sorprendería si algo más fuera una solución.

Los tres no son x, -x y 0

Donde x puede ser cualquier número entero positivo

Como 1, -1 y 0

La suma de estos no es igual a cero

Y el producto también es igual a cero

[matemáticas] 1 + 2 + 3 = 1 \ veces 2 \ veces 3 [/ matemáticas]

He visto algunas pruebas algo complicadas de que lo anterior es la única solución. Sin embargo, esto se puede ver de manera relativamente simple. Si aumentamos el valor de cualquier número en la suma de la izquierda en 1 (notando que para aumentarlo en más de 1, tendríamos que “pasar” incrementándolo en 1) y hacer lo mismo con la multiplicación de la derecha, Puede verse que la derecha siempre aumenta más que la izquierda, rompiendo la igualdad. Por lo tanto, esta solución es única.

Deje que el número sea x.

[matemáticas] x + x + x = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 3x = x ^ 3, 3 = x ^ 2, x ^ 2 = 3, x = \ sqrt {3} \ aprox 1.732050808 [/ matemáticas]