Deje que [math] \ mathrm {C} [/ math] sea una clase de complejidad. Un problema de decisión [mates] L [/ math] es [math] \ mathrm {C} [/ math] -hard si por cada problema [math] L ‘\ in \ mathrm {C} [/ math] tenemos que [ math] L ‘[/ math] el tiempo polinomial se reduce a [math] L [/ math]. Entonces, para la definición de dureza, no es necesario que [math] L [/ math] sea miembro de [math] \ mathrm {C} [/ math]. Si sabemos que este es el caso, decimos que [math] L [/ math] es [math] \ mathrm {C} [/ math] -complete.
Ahora el problema de detención HALT es el problema de decisión
Dada una máquina de Turing [matemática] M [/ matemática] y una cadena de entrada [matemática] w [/ matemática] ¿se detendrá [matemática] M [/ matemática] cuando se administre [matemática] w [/ matemática] como entrada?
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Ahora demostremos que para cualquier [matemática] L ‘\ in \ mathrm {NP} [/ math] podemos reducir el tiempo múltiple [math] L’ [/ math] a HALT. Esto demostrará que HALT es NP-hard.
Como [math] L ‘\ in \ mathrm {NP} [/ math], por definición, existe una máquina de Turing no determinista [math] M’ [/ math] tal que [math] M ‘[/ math] reconoce [math] L ‘[/ math] y tiene una complejidad de tiempo polinomial.
A partir de la descripción de [math] M ‘[/ math] podemos construir la descripción de una máquina determinista equivalente [math] M’_D [/ math] en tiempo polinomial. Tenga en cuenta que [math] M’_D [/ math] no necesita tener una complejidad de tiempo polinomial, pero la descripción puede escribirse en tiempo polinomial. Ahora modifique [math] M’_D [/ math] de modo que se detenga si y solo si acepta su entrada.
La reducción
[matemática] w \ mapsto \ langle M’_D, w \ rangle [/ math]
es una reducción del tiempo polinómico de [matemática] L ‘[/ matemática] a HALT.
