Este problema es un problema de cumpleaños … Si hay [matemática] m [/ matemática] dígitos por número y [matemática] k [/ matemática] posibles dígitos, entonces hay [matemática] k ^ m = N [/ matemática] distintas cadenas posibles . (Permitiré posibles ceros iniciales. Si no los quiere, la [matemática] N [/ matemática] será un poco más pequeña.) Para encontrar la probabilidad de que al menos un par coincida cuando haya [matemática] n [ / math] cadenas independientes elegidas uniformemente, primero encontraremos la probabilidad de que no haya coincidencias y restaremos eso de una.
No hay coincidencias
[matemáticas] \ displaystyle {P = 1 \ cdot (1-1 / N) \ cdot (1-2 / N) \ cdot \ ldots \ cdot (1- (n-1) / N) = \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (1-k / N)} [/ matemáticas]
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Para grandes [matemáticas] N [/ matemáticas], esto se puede aproximar bien siempre que [matemáticas] n [/ matemáticas] no sea demasiado grande. Tomar el exponencial del registro y usar el primer término en la serie de Taylor da
[matemáticas] \ displaystyle {P \ aprox e ^ {\ sum_ {k = 1} ^ {n-1} – \ frac kN} = e ^ {- \ frac {(n-1) n} {2N}}} [/mates]
Entonces la probabilidad de al menos una coincidencia es casi:
[matemáticas] \ displaystyle {1-e ^ {- \ frac {(n-1) n} {2N}}} [/ matemáticas]
Para mayor diversión, el valor de [math] n [/ math] para el cual la probabilidad de tener al menos una coincidencia es de aproximadamente 50% viene dado por:
[matemáticas] n \ aprox \ sqrt {N \ ln 4} [/ matemáticas]
Y el número promedio de estas cadenas que necesita generar hasta que vea la primera coincidencia viene dado por:
[matemáticas] \ mathbb E (X) \ aprox \ sqrt {N \ frac \ pi 2} [/ matemáticas]
