Como el secreto para estimar [math] \ pi [/ math] usando mosaico cuadrado es poder calcular el área del cuadrado que inscribe el círculo con el radio dado [math] r [/ math], todo lo que necesitamos hacer aquí es encontrar la forma más simple hecha de hexágonos unitarios que inscribe el círculo.
En mi opinión, la solución más simple es una cuadrícula hexagonal con 6 lados pares como en la imagen.
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El ancho de la cuadrícula hexagonal en esta imagen es [matemática] w = 13 [/ matemática] hexágonos (siempre número impar). El número total de hexágonos en esta forma se puede calcular con bastante facilidad, será:
[matemáticas] N (w) = \ dfrac {3} {4} (w ^ 2-1) +1 [/ matemáticas]
Si cuenta el número de hexágonos unitarios dentro del círculo [math] N_ {in} [/ math] y toma la longitud de la fila más larga como [math] w [/ math] (es 9 en su ejemplo)
Finalmente, la proporción del número de hexágonos unitarios dentro del círculo y la forma completa se aproxima a la proporción de áreas de círculo unitario y hexágono unitario:
[matemáticas] \ dfrac {N_ {in}} {N (w)} \ xrightarrow [w \ to \ infty] {} \ dfrac {A_ {circ}} {A_ {hex}} = \ dfrac {\ pi} { 2 \ sqrt {3}} [/ matemáticas]